Des lois de Newton à la trajectoire d'un ballon de basket, en passant par une balle de tennis et une particule chargée entre deux plaques : quatre situations, une seule méthode. Et une histoire vieille de presque quatre siècles.
Avant-propos — un peu d'histoire des sciences
Des plans inclinés de Galilée aux tubes cathodiques de Thomson
Pendant près de deux mille ans, la physique occidentale s'appuie sur les idées d'Aristote : un objet lourd tombe plus vite qu'un objet léger, et un projectile suit une trajectoire faite de lignes droites brisées. Ces idées, intuitives mais fausses, ne seront sérieusement remises en cause qu'au XVIIe siècle.
C'est Galilée qui change tout. Dans les années 1630, à Padoue puis à Florence, il étudie la chute des corps à l'aide de plans inclinés (pour « ralentir » la chute et pouvoir la chronométrer avec les moyens de l'époque) et démontre que tous les corps tombent avec la même accélération, indépendamment de leur masse — en l'absence de frottement. Dans son dernier ouvrage, Discours concernant deux sciences nouvelles (1638), il établit aussi que la trajectoire d'un projectile est une parabole, résultat de la composition d'un mouvement horizontal uniforme et d'une chute verticale uniformément accélérée — exactement la démarche que vous allez suivre dans ce chapitre.
Un demi-siècle plus tard, Isaac Newton franchit une étape décisive : dans ses Principia Mathematica (1687), il montre que la pomme qui tombe et la Lune qui orbite autour de la Terre obéissent à la même loi — celle de la gravitation universelle. Cette unification entre le mouvement « terrestre » et le mouvement « céleste » est l'une des plus grandes idées de l'histoire des sciences, et c'est elle qui fonde les trois lois que vous allez utiliser dans toute la suite du chapitre.
Deux siècles plus tard encore, en 1897, le physicien anglais J. J. Thomson réutilise très exactement cette même méthode — mais en remplaçant la pesanteur par un champ électrique — pour dévier un faisceau de rayons cathodiques entre deux plaques métalliques. En mesurant cette déviation, il découvre l'électron, la première particule subatomique jamais identifiée. La partie V de ce chapitre reproduit, dans ses grandes lignes, l'expérience qui a valu à Thomson le prix Nobel de physique en 1906.
Partie I
Rappels
1.1 Les lois de Newton
Référentiel galiléen
Un référentiel est dit galiléen (ou inertiel) si le principe d'inertie — la première loi de Newton — y est vérifié : tout système isolé ou pseudo-isolé y est immobile, ou animé d'un mouvement rectiligne uniforme. Aucun référentiel n'est parfaitement galiléen, mais certains le sont de façon approchée, sur une échelle de temps limitée adaptée au mouvement étudié.
Point à corriger — l'essentiel à retenir
Ce qui distingue vraiment ces trois référentiels, ce n'est pas seulement leur origine, mais aussi l'orientation de leurs axes : seul le référentiel terrestre tourne avec la Terre. Les référentiels géocentrique et héliocentrique, eux, ont des axes fixes, dirigés vers des étoiles lointaines considérées comme immobiles — c'est cette absence de rotation qui les rend galiléens sur de plus longues durées.
Référentiel terrestre
Origine et axes liés à un point fixe de la Terre : il tourne donc avec elle. Galiléen pour des mouvements de courte durée (quelques minutes), à l'échelle humaine — un ballon, une voiture, une chute libre.
Référentiel géocentrique
Origine au centre de la Terre, mais axes dirigés vers trois étoiles lointaines fixes (il ne tourne pas avec la Terre). Galiléen pour l'étude des satellites terrestres (Lune, satellites artificiels).
Référentiel héliocentrique
Origine au centre du Soleil (ou centre de masse du système solaire), mêmes axes fixes que le référentiel géocentrique. Galiléen pour l'étude des planètes du système solaire.
Dans ce chapitre, on étudie des mouvements de courte durée à la surface de la Terre (chute d'un objet, trajectoire d'une balle ou d'un ballon) : le référentiel terrestre, supposé galiléen, est donc le bon choix pour toutes les applications qui suivent.
Première loi de Newton — Principe d'inertie
Un système soumis à des forces qui se compensent est soit immobile, soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme (vecteur vitesse constant, en norme comme en direction). La réciproque est vraie.
ΣFext = 0 ⟺ v = constante
Deuxième loi de Newton — Principe fondamental de la dynamique
La somme des forces auxquelles est soumis un système ponctuel est égale au produit de la masse m du système par le vecteur accélération.
ΣFext = m × a
Troisième loi de Newton — Principe des actions réciproques
Si un système A exerce une force sur un système B, alors le système B exerce sur A une force de même valeur, même direction, mais de sens opposé.
FA/B = − FB/A
1.2 Les différentes énergies
Énergie cinétique EC
L'énergie qu'un corps possède du fait de sa vitesse. Elle dépend de la masse de l'objet et de sa vitesse.
EC = (1/2) × m × v²
Énergie potentielle de pesanteur Epp
L'énergie d'un corps à une position donnée par rapport à la surface de la Terre, due à l'action gravitationnelle exercée par la Terre. Elle est d'autant plus grande que l'altitude du corps par rapport au sol est grande.
Epp = m × g × h
Énergie mécanique EM
La somme de l'énergie cinétique EC et de l'énergie potentielle de pesanteur Epp d'un corps.
EM = EC + Epp
1.3 Conservation de l'énergie
Au cours de la chute d'un objet :
l'altitude de l'objet par rapport au sol diminue, donc son énergie de position Epp diminue aussi ;
la vitesse de l'objet augmente, donc son énergie cinétique EC augmente aussi.
Il y a donc transfert de l'énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique.
À retenir
Au cours d'une chute sans frottements, l'énergie mécanique est constante : on dit qu'elle se conserve.
1.4 Travail d'une force
Définition
Le travail d'une force représente l'énergie développée par cette force lors du déplacement de son point d'application.
WAB(F) = F · AB = F × AB × cos(α)
Travail moteur
Si W > 0, la force favorise le déplacement du système.
Travail résistant
Si W < 0, la force gêne le déplacement du système.
Force conservative
Une force conservative est une force dont le travail ne dépend pas du chemin suivi par le corps qui la subit, mais seulement des points de départ et d'arrivée A et B. Le poids est l'exemple le plus courant d'une force conservative.
Partie II
Application n°1 — Étude de la chute libre
On lâche un caillou depuis une hauteur H, sans vitesse initiale. Déterminons ses équations horaires.
Chute libre : caillou lâché sans vitesse initiale depuis la hauteur H.
2.1 Mise en équation
Situation
Référentiel : terrestre, supposé galiléen. · Système : caillou de masse m.
Bilan des forces : le poids P, de direction verticale, de sens vers le bas, de norme P = mg, appliqué au centre d'inertie (frottements et poussée d'Archimède négligés).
D'après la deuxième loi de Newton :
ΣF = m × a ⟺ P = m × a ⟺ m g = m a ⟺ a = g
2.2 Résolution — accélération, vitesse, position
On choisit un axe (Oy) vertical, orienté vers le haut, d'origine au sol — la même convention que dans toutes les applications suivantes de ce chapitre. Le vecteur g est donc dirigé vers le bas, soit ay = −g :
a : ax = 0 · ay = −g
Harmonisation des notations
Pour rester cohérent avec les applications n°2 et n°3 de ce chapitre (qui utilisent toutes deux un axe (Oy) orienté vers le haut, avec ay = −g), ce même choix d'axe est repris ici. Cela permet d'utiliser une seule et même convention de signe dans tout le chapitre — un axe (Oy) vers le bas fonctionnerait tout aussi bien, à condition de garder le même choix partout.
Or a = dv/dt, donc par primitive, avec les constantes d'intégration déterminées par les conditions initiales (v0x = v0y = 0, caillou lâché sans vitesse initiale) :
v : vx = 0 · vy = −g t
Or v = dOM/dt, donc par primitive, avec les conditions initiales x(0) = 0 et y(0) = H :
2.3 Équations horaires
x(t) = 0
y(t) = − (1/2) g t² + H
Interprétation
Le mouvement est purement vertical (x(t) = 0 en permanence) et uniformément accéléré vers le bas : c'est la trajectoire attendue pour une chute libre sans vitesse initiale.
Partie III
Application n°2 — La partie de tennis
Une balle de tennis est frappée horizontalement avec une vitesse initiale v₀, depuis une hauteur H.
Lancer horizontal : vitesse initiale purement horizontale depuis la hauteur H.
3.1 Mise en équation
Situation
Référentiel : terrestre, supposé galiléen. · Système : balle de tennis de masse m.
Bilan des forces : le poids P (frottement de l'air et poussée d'Archimède supposés négligeables).
D'après la deuxième loi de Newton, comme en partie II : a = g, avec ax = 0 et ay = −g.
La vitesse initiale v₀ est purement horizontale, donc vx(0) = v₀ et vy(0) = 0 :
v : vx = v₀ · vy = −g t
3.2 Équations horaires
Avec les conditions initiales x(0) = 0 et y(0) = H :
x(t) = v₀ × t
y(t) = − (1/2) g t² + H
3.3 Équation de la trajectoire y(x)
On isole t dans x(t) : t = x / v₀, puis on remplace dans y(t) :
y(x) = − (1/2) g (x / v₀)² + H
À retenir
C'est l'équation d'une parabole — exactement le résultat que Galilée établissait déjà en 1638, sans les outils du calcul différentiel que vous venez d'utiliser ici.
Partie IV
Application n°3 — Le basket
On lance un ballon de basket depuis le point (O, H) avec une vitesse v₀ et un angle α par rapport à l'horizontale.
Tir en cloche : décomposition de v₀ selon α, flèche (altitude max) et portée Xp.
4.1 Mise en équation et composantes de v₀
D'après la deuxième loi de Newton, comme précédemment : ax = 0, ay = −g.
La vitesse initiale v₀ fait un angle α avec l'horizontale : on projette sur les deux axes.
v₀x = v₀ cos(α) · v₀y = v₀ sin(α)
vx = v₀ cos(α) · vy = − g t + v₀ sin(α)
4.2 Équations horaires et trajectoire
Avec les conditions initiales x(0) = 0 et y(0) = H :
x(t) = (v₀ cos α) t
y(t) = − (1/2) g t² + (v₀ sin α) t + H
En isolant t = x / (v₀ cos α) et en substituant dans y(t) :
y(x) = − g x² / (2 v₀² cos²α) + x tan(α) + H
4.3 La flèche (altitude maximale)
Au sommet de la trajectoire, la vitesse verticale s'annule : vy(ts) = 0.
− g ts + v₀ sin(α) = 0 ⟺ ts = (v₀ sin α) / g
En substituant ts dans y(t) :
y(ts) = v₀² sin²(α) / (2g) + H
Cas particulier — le golf
Pour un tir au golf, la balle part du sol : H = 0. La flèche se réduit alors simplement à v₀² sin²(α) / (2g).
4.4 La portée (distance maximale)
La portée Xp est la position où le projectile retombe au sol, soit y(Xp) = 0 :
− (g / (2 v₀² cos²α)) Xp² + (tan α) Xp + H = 0
Cette équation est de la forme a X² + b X + c = 0, avec a = −g/(2v₀²cos²α), b = tan(α) et c = H. On calcule le discriminant Δ = b² − 4ac, puis les racines :
Xp = (−b ± √Δ) / (2a)
Seule la racine positive a un sens physique.
Cas particulier — tir et réception à la même hauteur (H = 0)
Lorsque le projectile part du sol et y retombe (H = 0), l'équation se simplifie : Xp [− (g/(2v₀²cos²α)) Xp + tan(α)] = 0. La solution non nulle est :
Xp = (2 v₀² sin(α) cos(α)) / g = v₀² sin(2α) / g
(en utilisant l'identité trigonométrique sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)). C'est la formule classique de la portée d'un projectile, maximale pour α = 45°.
Partie V
Mouvement d'une particule dans un champ électrique
Une particule chargée pénètre, avec une vitesse horizontale v₀, entre deux armatures planes parallèles A et B, séparées d'une distance d et soumises à une tension U.
Déviation d'une particule chargée entre deux armatures planes : le champ électrique E remplace ici le champ de pesanteur.
5.1 Le champ électrique uniforme entre deux armatures
Une tension U appliquée entre les deux armatures crée un champ électrique uniforme E :
E = U / d
avec E en V·m⁻¹, U en V, et d en m. Le champ E est dirigé vers les potentiels décroissants (de l'armature + vers l'armature −). La force électrique exercée sur une particule de charge q placée dans ce champ est, en newtons :
FE = qparticule × E
5.2 Mise en équation — l'analogie avec la chute des corps
D'après la deuxième loi de Newton :
ΣFext = m a ⟺ FE = m a ⟺ q E = m a ⟺ a = q E / m
Avec le champ E orienté selon (Oy) vers le bas (de l'armature A+ vers l'armature B−), soit E = (0, −E) :
a : ax = 0 · ay = q(−E) / m
Le même calcul que dans les parties II à IV
On retrouve exactement la même structure mathématique que pour la chute libre ou le lancer d'un projectile : une accélération constante, purement verticale, qui remplace ici g par qE/m. C'est cette analogie que Thomson a exploitée pour dévier ses rayons cathodiques et découvrir l'électron.
5.3 Équations horaires
La vitesse initiale v₀ est purement horizontale, donc vx(0) = v₀ et vy(0) = 0 :
v : vx = v₀ · vy = (q(−E)/m) × t
Avec les conditions initiales x(0) = 0 et y(0) = 0 (la particule entre à l'origine du repère) :
x(t) = v₀ × t
y(t) = (q(−E) / m) × (t² / 2)
5.4 Les particules chargées usuelles
Électron
q = −e (charge négative) : dévié vers l'armature positive.
Proton
q = +e (charge positive élémentaire).
Ion xénon Xe²⁺
q = +2e (deux charges élémentaires positives).
Synthèse — le fil rouge du chapitre
De Galilée à Thomson, en passant par Newton, une seule et même méthode se répète : identifier la force, appliquer la deuxième loi de Newton pour obtenir une accélération constante, puis intégrer deux fois pour remonter à la vitesse, puis à la position.
Vitesse initiale inclinée d'un angle α : flèche et portée.
Champ électrique (V)
La force électrique qE remplace le poids mg : même mathématiques, autre échelle.
C'est précisément cette universalité — la même équation qui décrit un ballon de basket et un électron — que Newton avait pressentie en unifiant la pomme et la Lune, et que Thomson a exploitée deux siècles plus tard pour découvrir la première particule subatomique de l'histoire.